
\begin{exo}
	Soit $A\in \mathcal{M}_n(\RR)$ tq $rgA=1$.
	\begin{enumerate}
		\item Notons $(C_1,\ldots,C_n)$ les colonnes de $A$.
			Montrer que $\exists C\in \RR^n, \exists
			(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in \RR^n$ tq
			\\
			$\forall i\in \{1,\cdots,n\}, C_i=\lambda_iC$.
		\item En faisant un changement de base adapt{\'e}, montrer que
			$\det(I_n+A)=1+\tr(A)$.
	\end{enumerate}
	%-----------
	\begin{correction}

		\begin{enumerate}
			\item Par d\'efinition, $\vect(C_1,\ldots,C_n)$  est de dimension $1$, soit $C\in \RR^n$
				un vecteur engendrant $\vect(C_1,\ldots,C_n)$. Alors 	$\exists (\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in \RR^n$ tq $\forall i\in \{1,\cdots,n\}, C_i=\lambda_iC$.
			\item On consid\`ere une base $B'$ qui contient $C$ comme premier vecteur. Alors $A$ est semblable \`a $A'=\left( \begin{array}{cccc}
					\lambda_1'&\lambda_2'&\ldots&\lambda_n'\\
					0&0&\ldots&0\\
					\vdots&\vdots&&\vdots\\
					0&0&\ldots&0
				\end{array}\right)$,
				$\tr(A)=\tr(A')=\lambda_1'$ et $\det(I_n+A)=\det(I_n+A')=1+\lambda_1'= 1+\tr(A)$.
		\end{enumerate}


	\end{correction}
\end{exo}
%=============


\begin{exo}
	Soit $\begin{array}{l}
		A=
		\left(
		\begin{array}{cc}
			0_n&I_n\\
			-I_n&0_n
		\end{array}
		\right)
	\end{array}\in \mathcal{M}_{2n}(\RR)$.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\det A$.
		\item Soit $S\in M_{2n}(\RR)$ tq $^{t}SAS=A$.

			Montrer que $S$ est inversible et que $^{t}S$ et $S^{-1}$ sont
			semblables.
	\end{enumerate}
	%-----------
	\begin{correction}

		\begin{enumerate}
			\item R\'earranger la base.
				Alors $\det(A)=1$.
			\item Appliquer le d\'eterminant \`a la relation d\'efinissant $S$.
		\end{enumerate}


	\end{correction}
\end{exo}
%=============

